位相フリップ符号をQiskitで実装する｜もう一つの誤りを訂正する

ビットフリップ符号はXエラー（ビット反転）を直せましたが、量子にはもう一種類、位相反転（Zエラー） があります。この記事ではそれを訂正する 位相フリップ符号 をQiskitで実装します。ポイントは「アダマール基底に移すと、位相反転がビット反転に化ける」こと。同じ理屈が使い回せます。

発想：基底を変えれば同じ問題

Zエラー（位相反転）は、アダマールで基底を変えると Xエラー（ビット反転）に変わります。だからビットフリップ符号を H で挟むだけで位相フリップ符号になります。

準備

pip install qiskit qiskit-aer

① 符号化：Hで挟む

守りたいビットを3個に広げ、各ビットをアダマールでX基底へ移します。

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(5, 2)   # データ3 + シンドローム2
qc.x(0)                     # テスト用に |1⟩

qc.cx(0, 1); qc.cx(0, 2)    # 3個に広げる
qc.h([0, 1, 2])             # X基底へ（ここが位相フリップ用）
qc.barrier()

② 位相反転エラーを注入

Zエラーを1個のビットに起こします。

qc.z(1)          # q1 に位相反転エラー
qc.barrier()

③ 基底を戻してシンドローム測定

Hで元の基底に戻すと、Zエラーがビット反転として現れるので、ビットフリップ符号と同じパリティ測定で位置を特定できます。

qc.h([0, 1, 2])             # 基底を戻す（Zエラー→Xエラーとして見える）
qc.cx(0, 3); qc.cx(1, 3)    # パリティ (q0,q1)
qc.cx(1, 4); qc.cx(2, 4)    # パリティ (q1,q2)
qc.measure(3, 0); qc.measure(4, 1)

from qiskit_aer import AerSimulator
print(AerSimulator().run(qc, shots=1000).result().get_counts())

結果は {'11': 1000}。シンドローム11＝q1が反転と正しく特定できました。ビットフリップ符号とまったく同じ読み方です。

まとめ

• 位相反転（Zエラー）は量子だけに存在する誤り
• アダマールで基底を変えるとZエラーはXエラーに化ける
• だからビットフリップ符号をHで挟むだけで位相フリップ符号になる
• 両方を組み合わせると9量子ビットのショア符号

もう少し詳しく（背景と理論）

位相フリップ符号は、アダマール変換が X と Z を入れ替える（HXH=Z, HZH=X）という性質を使い、Z エラーの問題をビットフリップ符号の X エラーの問題へ写して解きます¹。量子の誤りは連続的にも見えますが、任意の1量子ビット誤りは恒等・X・Y・Z のパウリ基底に展開でき、X と Z を訂正できれば Y=iXZ も自動的に扱えます——これが誤りの離散化という量子誤り訂正の基本定理です²。ビットフリップ（X用）と位相フリップ（Z用）を入れ子にすると、任意の単一誤りを訂正するショア符号になります。

次の一歩 🌸

Xエラー版はビットフリップ符号、誤り訂正の全体像は誤り訂正入門、基底を変えるゲートは量子ゲート入門へどうぞ。

Footnotes

1. アダマール H は基底を X↔Z に回す。Z エラーは X 基底で見るとビット反転として現れるため、H で挟めば既存のビットフリップ符号の仕組みがそのまま使える。 ↩

2. 誤りの離散化定理：連続的なノイズも {I, X, Y, Z} の線形結合で表せ、X と Z（したがって Y）を訂正できれば任意の単一量子ビット誤りに対処できる。量子誤り訂正が「有限種類の誤り」で済む理由。 ↩